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集合
集合中的元素可以是任何对象
集合表示
- 枚举法
- 叙述法：具有某种性质的元素
- 文氏图
集合基数
- 集合A中的元素的个数是|A|；
- 若一个集合的基数是有限的，则该集合为有限集
- 若一个集合的基数是无限的，则称该集合为无限集
\[A = {a,b,c},|A| = 3\]
\[B = {a,{b,c}},|B| = 2\]
空集
空集是唯一的
\(|\emptyset| = 0,|{\emptyset}| = 1\)
全集
全集在文氏图中一般用方形表示；
元素的基本特性
- 集合中的元素是无序的，\(\{1,2,3,4\}\)与\(\{2,3,1,4\}\)相同
- 集合中的元素是不同的，\(\{1,2,2,3,4,3,4,2\}\)与\(\{1,2,3,4\}\)相同
外延性原理
两个集合\(A,B\)相等，当且仅当他们的元素完全相同，记\(A=B\)，否则\(A\)和\(B\)不相同，记作\(A\neq B\)；
定理
设\(A,B\)为任意两个集合，则\(A=B\iff A\subseteq B,B\subseteq A\)
证明两个集合相等，证明\(A\subseteq B\)同时\(B\subseteq A\)
幂集
\(A\)为任意集合，把A的所有不同子集构成的集合叫做A的幂集，记作\(P(A)\)
比如\(A = \{a,\{b,c\}\}\)，\(P(A)=\{\emptyset, \{a\}, \{b,c\},\{a,\{b,c\}\}\}\)
集合的运算
- 并集
- 交集
- 补集，设\(U\)是全集，则集合\(A\)的补集定义为：\(\overline A = \{x|x\notin A\}\)
- 差集
- 对称差，\(A\)与\(B\)的对称差就是只属于\(A\)的和只属于\(B\)的元素的并
运算定律
- 幂等律：\(A\cup A \cup ... A= A,A\cap A \cap ... A= A\)
- 同一律：\(A\cup \emptyset = A ,A\cap U = A\)
- 零律： \(A\cup U = U, A\cap \emptyset = \emptyset\)
- 德摩根律，交换律，结合律，分配律
不可数集合与可数集合
如何比较集合的大小，对于两个有限集合，只需要比较集合的基数；
等势
如果两个集合的所有元素具有一种相互的一一映射关系，那么两个集合是等势的；
可数集合
凡是与自然数集合\(\text{N}\)等势的集合，成为可数集合（countable set）
正奇数集合、素数集合、有理数集合都是可数集合
正奇数集合、素数集合是自然数集合的子集，然而它们是与自然数集合是等势的，而有理数集合元素比自然数集合多得多，它们仍然是等势的；
因此我们可以意识到，两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。\(aleph_0\)表示一切可数集合的基数，是一种抽象的表达；
不可数集合
开区间\((0,1)\)称不可数集合，凡是与\((0,1)\)等势的集合成为不可数集合，该类集合的基数为\(\aleph\)
实数集合是不可数集合